Question

4．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB-sinC．
（1）求∠A的大小；
（2）在锐角△ABC中，a=$\sqrt{3}$，求c+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由两角和的正弦函数公式，三角形内角和公式化简已知等式可得2cosAsinC=sinC，结合sinC≠0，可求
cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可得A的值．
（2）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得c+b=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），结合范围B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得：B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵2sinAcosC=2sinB-sinC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC，
∴2cosAsinC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵在锐角△ABC中，a=$\sqrt{3}$，由（1）可得A=$\frac{π}{3}$，B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴c+b=2sinC+2sinB=2sinB+2sin（$\frac{2π}{3}$-B）=3sinB+$\sqrt{3}$cosB=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得：B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），可得：b+c=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（3.2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角形内角和公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．