Question

14．已知两个平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a=（1，1）$，$\overrightarrow b=（3，4）$，若$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直，则实数k=$±\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直，得到（$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）（$k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=${k}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=2k²-25=0，由此能求出实数k．

解答 解：∵两个平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a=（1，1）$，$\overrightarrow b=（3，4）$，
$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$垂直，
∴（$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）（$k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=${k}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=2k²-25=0，
解得实数k=$±\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$±\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查实数值的求法，涉及到平面向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．