Question

4．现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是$\frac{2}{105}$．

Answer 1

分析 先求出基本事件总数n=${A}_{10}^{5}$，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C₆¹种，4只次品必有一只排在第五次测试，有C₄¹种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A₄⁴种．根据分步计数原理有C₆¹C₄¹A₄⁴种．由此能求出最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率．

解答 解：现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，
直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，
基本事件总数n=${A}_{10}^{5}$，
最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：
优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C₆¹种，
4只次品必有一只排在第五次测试，有C₄¹种，
那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A₄⁴种．
于是根据分步计数原理有C₆¹C₄¹A₄⁴种．
∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{4}}{{A}_{10}^{5}}$=$\frac{2}{105}$．
故答案为：$\frac{2}{105}$．

点评 本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查集合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．