Question

15．已知以F为焦点的抛物线C：y²=2px（p＞0）上的两点A，B满足$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，若弦AB的中点到准线的距离为$\frac{16}{3}$，则抛物线的方程为y²=8x．

Answer 1

分析 设直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k的值，根据中点坐标公式求得M的横坐标，则M到准线的距离d=x+$\frac{p}{2}$=$\frac{8p}{3}$，即可求得d的值，求得抛物线方程．

解答 解：抛物线C：y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
由题意可知直线AB的斜率显然存在，且不为0，设直线AB的方程y=k（x-$\frac{p}{2}$），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），
$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{p}{2}$-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\frac{p}{2}$，y₂），由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，
则$\frac{p}{2}$-x₁=3（x₂-$\frac{p}{2}$），则3x₂+x₁=2p，①
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（k²+2）px+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{{（k}^{2}+2）p}{{k}^{2}}$，②x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，③
由①②解得：x₁=$\frac{{k}^{2}p+6p}{2{k}^{2}}$，x₂=$\frac{{k}^{2}p-2p}{2{k}^{2}}$，
代入③，解得：k²=3，
则x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5p}{6}$，M到准线的距离d=x+$\frac{p}{2}$=$\frac{4p}{3}$，
∴$\frac{4p}{3}$=$\frac{16}{3}$，解得：p=4，
∴抛物线的方程为y²=8x．
故答案为：y²=8x．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．