Question

12．已知△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，E是AD的中点，P是△ABD（包括边界）内任一点，则$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CE}$的最小值是1．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示求出$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CE}$的最小值．

解答 解：建立平面直角坐标系如图所示，
则A（0，4），B（2，0），D（1，0），
E是AD的中点，∴E（1，2）；
又P是△ABD（包括边界）内任一点，
当P与A重合时，$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CE}$=0×1+4×2=8，
当P与D重合时，$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CE}$=1×1+0×2=1，
当P与B重合时，$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CE}$=2×1+0×2=2，
当P与E重合时，$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CE}$=1×1+2×2=5，
由此知，当P与D重合时，$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CE}$的值最小，为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．