Question

19．已知F₁，F₂分别是椭圆mx²+y²=m（0＜m＜1）的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，若$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$的最小值为$\frac{4}{3}$，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，再由$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$的最小值为$\frac{4}{3}$，结合对勾函数的单调性可知当$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|$取最大值为a+c时成立，求得c值，则椭圆离心率可求．

解答 解：令|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=s，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=t，
则$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$为$\frac{{t}^{2}+s}{s}$，其最小值为$\frac{4}{3}$，
则$\frac{{t}^{2}}{s}$的最小值为$\frac{1}{3}$．
由椭圆mx²+y²=m，得${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，
∵0＜m＜1，∴椭圆的长轴长为2．
∴$\frac{（2-s）^{2}}{s}=\frac{4}{s}+s-4≥\frac{1}{3}$，
∴$\frac{4}{s}+s≥\frac{13}{3}$，
由$\frac{4}{s}+s=\frac{13}{3}$，解得s=$\frac{4}{3}$或s=3（舍）．
由对勾函数的单调性可知，当s有最大值为a+c=$\frac{4}{3}$时，$\frac{{t}^{2}+s}{s}$有最小值为$\frac{4}{3}$，
即1+c=$\frac{4}{3}$，得c=$\frac{1}{3}$．
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，训练了利用“对勾函数”的单调性求函数最值，是中档题．