Question

14．已知函数$y=\frac{3+x}{x-2}，x∈[3，6]$
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）求此函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 变形可知y=$\frac{5}{x-2}$+1．（1）利用定义法判断即可；
（2）结合（1）可知当x=3时y取最大值，当x=6时y取最小值，进而计算可得结论．

解答 解：由题可知y=$\frac{3+x}{x-2}$=$\frac{5+x-2}{x-2}$=$\frac{5}{x-2}$+1．
（1）函数y=$\frac{3+x}{x-2}$在[3，6]上单调递减．
证明如下：
任取x₁、x₂∈[3，6]，不妨设x₁＜x₂，则$\frac{5}{{x}_{2}-2}$-$\frac{5}{{x}_{1}-2}$=$\frac{5（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
由于x₁-x₂＜0，且x₁-2＞0，x₂-2＞0，
所以$\frac{5}{{x}_{2}-2}$-$\frac{5}{{x}_{1}-2}$＜0，即函数y=$\frac{5}{x-2}$在[3，6]上单调递减，
所以函数y=$\frac{3+x}{x-2}$在[3，6]上单调递减．
（2）由（1）可知，当x=3时y取最大值$\frac{3+3}{3-2}$=6，
当x=6时y取最小值$\frac{3+6}{6-2}$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查函数的单调性，考查求函数的最值，考查利用定义法判断函数的单调性，注意解题方法的积累，属于基础题．