Question

3．若点P是曲线$y=\frac{3}{2}{x^2}-2lnx$上任意一点，则点P到直线$y=x-\frac{5}{2}$的距离的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意作图，故当点P是曲线的切线中与直线$y=x-\frac{5}{2}$平行的直线的切点时，距离最小；从而解得．

解答 解：由题意作图如下，

当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时，距离最小；
曲线$y=\frac{3}{2}{x^2}-2lnx$
故令y′=3x-$\frac{2}{x}$=1解得，x=1；
故点P的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）；
故点P到直线y=x-$\frac{5}{2}$的最小值为：$\frac{|1-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
故选：C．

点评 本题考查了几何意义的运用及导数的综合应用，属于中档题．