Question

9．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*都有a_n＞0，a₁=1且满足$\sqrt{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 $\sqrt{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1），化为：S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{4}$$（{a}_{1}+1）^{2}$，a₁＞0，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1），∴S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{4}$$（{a}_{1}+1）^{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵对任意的n∈N^*都有a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．