Question

8．已知不等式|x-2|＞3的解集与关于x的不等式x²-ax-b＞0的解集相同．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）=a$\sqrt{x-3}$+b$\sqrt{44-x}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出不等式|x-2|＞3的解集，即得不等式x²-ax+b＞0的解集，利用一元二次方程根与系数的关系求出 a和b的值，
（2）根据柯西不等式即可求出最大值．

解答 解：（1）不等式|x-2|＞3的解集为{x|x＜-1或x＞5}，所以不等式x²-ax-b＞0的解集为{x|x＜-1或x＞5}，
所以-1，5是方程x²-ax-b=0的两根，所以$\left\{\begin{array}{l}{1+a-b=0}\\{25-5a-b=0}\end{array}\right.$，解得a=4，b=5．
（2）函数f（x）=a$\sqrt{x-3}$+b$\sqrt{44-x}$的定义域为[3，44]，由柯西不等式得：
[f（x）]²=（4$\sqrt{x-3}$+5$\sqrt{44-x}$）²≤[（16+25）（x-3+44-x）]²，．
又因为f（x）≥0，所以f（x）≤4，当且仅当5$\sqrt{x-3}$=4$\sqrt{44-x}$时等号成立，
即x=$\frac{779}{41}$时，f（x）=41．所以函数f（x）的最大值为41．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，以及柯西不等式，考查转化能力，属于中档题．