Question

【题目】已知是数列的前项和，并且，对任意正整数， ，设（）.

（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）设，求证：数列不可能为等比数列.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用an+1=Sn+1-Sn可知证明an+1=4（an-an-1），通过bn=an+1-2an可知bn+1=2（an+1-2an），通过作商可知{bn}是公比为2的等比数列，通过a1=1可知b1=3，进而可得结论；

（2）假设为等比数列，则有, n≥2, 则有，故假设不成立，则数列不可能为等比数列 .

试题解析：(I)∵Sn+1=4an+2，∴Sn=4an-1+2(n≥2)，

两式相减：an+1=4an-4an-1(n≥2)，∴an+1=4(an-an-1)(n≥2)，

∴bn=an+1-2an，

∴bn+1=an+2-2an+1=4(an+1-an)-2an+1，bn+1=2(an+1-2an)=2bn(n∈N*)，

∴，∴{bn}是以2为公比的等比数列，

∵b1=a2-2a1，而a1+a2=4a1+2，∴a2=3a1+2=5，b1=5-2=3，

∴bn=32n-1(n∈N*)

(II)，假设为等比数列，则有

, n≥2, 则有=0

与 ≥1矛盾，所以假设不成立，则原结论成立，即

数列不可能为等比数列