【题目】已知等边三角形的边长为
,
为
边的中点,沿
将
折成直二面角
,则三棱锥
的外接球的表面积为_____
【答案】
【解析】
先证明AD⊥平面BCD,利用二面角的定义得知∠BDC=90°,利用勾股定理可得出△BCD的外接圆直径为BC,设R为三棱锥A﹣BCD的外接球的半径,得 ,再利用球体表面积公式可得出答案.
如图所示,
折叠前,由于△ABC时等边三角形,D为BC的中点,则AD⊥BC,
折叠后,则有AD⊥CD,AD⊥BD,∵BD∩CD=D,∴AD⊥平面BCD,
∵二面角B﹣AD﹣C为直二面角,∵AD⊥BD,AD⊥CD,则二面角B﹣AD﹣C的平面角为∠BDC=90°,
且 ,
Rt△BCD的外接圆直径为,
所以,三棱锥A﹣BCD的外接球半径为,
因此,三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4πR2=80π.
故答案为:80π
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【题目】以下5条表述中,横线上填A代表“充分非必要条件”,填B代表“必要非充分条件”,填C代表“充要条件”,填D代表“既非充分也非必要条件”,请将相应的字母填入下列横线上.
(1)若,则“
是
与
的等比中项”是“
”的_______.
(2)“数列为常数列”是“数列
既是等差数列又是等比数列”的_______.
(3)若是等比数列,则“
”是“
为递减数列”的_______.
(4)若是公比为
的等比数列,则“
”是“
是递减数列”的_______.
(5)记数列的前
项和为
,则“数列
为递增数列”是“数列
的各项均为大于零”的_______.
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【题目】2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其中能够组成孪生素数的概率是
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数,
.
(1)当时,试讨论方程
的解的个数;
(2)若曲线和
上分别存在点
,
,使得
是以原点
为直角顶点的直角三角形,且斜边
的中点在
轴上,求实数
的取值范围.
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【题目】如图所示,在四棱柱中,侧棱
底面
,
,
,
,
,
为棱
的中点.
(1)证明:;
(2)求二面角的正弦值;
(3)设点在线段
上,且直线
与平面
所成角的正弦值是
,求线段
的长.
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【题目】已知,点
满足
,记点
的轨迹为
.斜率为
的直线
过点
,且与轨迹
相交于
两点.
(1)求轨迹的方程;
(2)求斜率的取值范围;
(3)在轴上是否存在定点
,使得无论直线
绕点
怎样转动,总有
成立?如果存在,求出定点
;如果不存在,请说明理由.
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【题目】我国古代著名的周髀算经
中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷
长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸
意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为
分;且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分
则“立春”时日影长度为
A. 分B.
分C.
分D.
分
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