精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

必做题:解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数f(x)=ln(ax+1)+数学公式,x≥0,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.

解:(1)求导函数可得f′(x)=
∵f(x)在x=1处取得极值,
∴f'(1)=0,∴,∴a=1;
(2)f′(x)=
∵x≥0,a>0,∴ax+1>0,1+x>0.
当a≥2时,在区间(0,+∞)上f′(x)≥0,f(x)递增,f(x)的最小值为f(0)=1.
当0<a<2时,由f′(x)>0,解得x>;由f′(x)<0,解得x<
∴f(x)的单调减区间为(0,),单调增区间为(,+∞).
于是,f(x)在x=处取得最小值f()<f(0)=1,不合.
综上可知,若f(x)得最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞) …10分
分析:(1)求导函数,根据f(x)在x=1处取得极值,可得f'(1)=0,即可求得a的值;
(2)求导函数,分类讨论:a≥2,则f'(x)>0恒成立,f(x)在[0,+∞)上递增,f(x)的最小值为f(0)=1;0<a<2,可得f(x)在x=处取得最小值f()<f(0)=1,由此可得a的取值范围.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的极值与最值,正确求导是关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【必做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
某射击运动员向一目标射击,该目标分为3个不同部分,第一、二、三部分面积之比为1:3:6.击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.
(1)若射击4次,每次击中目标的概率为
13
且相互独立.设ξ表示目标被击中的次数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);
(2)若射击2次均击中目标,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求事件A发生的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

必做题:(本小题满分10分,请在答题指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
已知an(n∈N*)是二项式(2+x)n的展开式中x的一次项的系数.
(Ⅰ)求an
(Ⅱ)是否存在等差数列{bn},使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立?并证明你的结论.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

必做题:解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数f(x)=ln(ax+1)+
1-x1+x
,x≥0,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012年江苏省高考数学全真模拟试卷(4)(解析版) 题型:解答题

必做题:解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案