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必做题:解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数f(x)=ln(ax+1)+
1-x1+x
,x≥0,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
分析:(1)求导函数,根据f(x)在x=1处取得极值,可得f'(1)=0,即可求得a的值;
(2)求导函数,分类讨论:a≥2,则f'(x)>0恒成立,f(x)在[0,+∞)上递增,f(x)的最小值为f(0)=1;0<a<2,可得f(x)在x=
2-a
a
处取得最小值f(
2-a
a
)<f(0)=1,由此可得a的取值范围.
解答:解:(1)求导函数可得f′(x)=
ax2+a-2
(ax+1)(1+x)2

∵f(x)在x=1处取得极值,
∴f'(1)=0,∴
2a-2
4(a+1)
=0
,∴a=1;
(2)f′(x)=
ax2+a-2
(ax+1)(1+x)2

∵x≥0,a>0,∴ax+1>0,1+x>0.
当a≥2时,在区间(0,+∞)上f′(x)≥0,f(x)递增,f(x)的最小值为f(0)=1.
当0<a<2时,由f′(x)>0,解得x>
2-a
a
;由f′(x)<0,解得x<
2-a
a

∴f(x)的单调减区间为(0,
2-a
a
),单调增区间为(
2-a
a
,+∞).
于是,f(x)在x=
2-a
a
处取得最小值f(
2-a
a
)<f(0)=1,不合.
综上可知,若f(x)得最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞) …10分
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的极值与最值,正确求导是关键.
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13
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