【题目】已知关于的二次函数
.
(1)设集合和
,分别从集合
和
中随机取一个数作为
和
,求函数
在区间
上是增函数的概率;
(2)设点是区域
内的随机点,记事件“函数
有两个零点,其中一个大于1,另一个小于1”为事件
,求事件
发生的概率.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)基本事件的总数有种,要函数在给定区间上单调递增,则需开口向上,且对称轴要小于或等于
,由此得到
的大小关系,并通过列举得出符合题意的事件总数,利用古典概型计算公式计算得到概率.(2)“函数
有两个零点,其中一个大于1,另一个小于1”,由于函数开口向上,故只需
,画出可行域及符合题意的范围,利用面积比得到所求的概率.
试题解析:
(1)记“函数在区间
上是增函数”为事件
.
若使事件发生,由于
,则只需使得
,即
.
所以,事件包含的基本事件
分别为
,共5个;
所有基本事件共个.
由古典概型的概率计算公式得, ,
综上,函数在区间
上是增函数的概率为
;
(2)若使事件发生,由于
,所以只需
,
所有结果构成的平面区域为,事件
包含的结果构成的平面区域为
,
如图所示:
由几何概型的概率计算公式得, .
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【题目】随机抽取了40辆汽车在经过路段上某点是的车速(),现将其分成六段:
,
后得到如图所示的频率分布直方图.
(I)现有某汽车途经该点,则其速度低于80的概率约是多少?
(II)根据频率分布直方图,抽取的40辆汽车经过该点的平均速度是多少?
(III)在抽取的40辆汽车且速度在(
)内的汽车中任取2辆,求这2辆车车速都在
(
)内的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知以
为圆心的圆
及其上一点
.
(1)是否存在直线与圆
有两个交点
,并且
,若有,求此直线方程,若没有,请说明理由;
(2)设点满足:存在圆
上的两点
和
使得
,求实数
的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,设倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数)与曲线
(
为参数)相交于不同的两点
.
(1)若,求线段
的中点的直角坐标;
(2)若直线的斜率为2,且过已知点
,求
的值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,以
为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,和平面内一点
,过点
任作直线
与椭圆
相交于
两点,设直线
的斜率分别为
,
,试求
满足的关系式.
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