Question

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁为到定点F（

2

2

，

2

2

）的距离与到定直线l₁：x+y+

2

=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C₂是由曲线C₁绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．
（1）求曲线C₁与坐标轴的交点坐标，以及曲线C₂的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l₂交曲线C₂于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若

AM

=λ

MB

，证明：

NM

⊥（

NA

-λ

NB

）．

Answer 1

解（1）设P（x，y），由题意知曲线C₁为抛物线，并且有

(x- 2 2 )2+(y- 2 2 )2

=

|x+y+ 2 |

2

，
化简得抛物线C₁的方程为：x²+y²-2xy-4

2

x-4

2

y=0．
令x=0，得y=0或y=4

2

；再令y=0，得x=0或x=4

2

，
所以，曲线C₁与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4

2

）和（4

2

，0）．
点F（

2

2

，

2

2

）到l₁：x+y+

2

=0的距离为

| 2 2 + 2 2 + 2 |

2

=2，
所以C₂是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知直线l₂的斜率k存在且不为零，
设直线l₂的方程为y=k（x-m），代入y²=4x得
y²-

4

k

y-4m=0，可得y₁y₂=-4m．
由

AM

=λ

MB

，得（m-x₁，-y₁）=λ（x₂-m，y₂），可得λ=-

y1

y2

，
而N（-m，0），可得

NA

-λ

NB

=（x₁+m，y₁）-λ（x₂+m，y₂）=（x₁-λx₂+（1-λ）m，y₁-λy₂）
∵

NM

=（2m，0），
∴

NM

•（

NA

-λ

NB

）=2m[x₁-λx₂+（1-λ）m]=2m[

y12

4

+

y1

y2

-

y22

4

+（1+

y1

y2

）m]
=2m（y₁+y₂）•

y1y2+4m

4y2

=2m（y₁+y₂）•

-4m+4m

4y2

=0
∴对任意的λ满足

AM

=λ

MB

，都有

NM

⊥（

NA

-λ

NB

）．