Question

已知函数f（x）=2sin（x-

π

6

）sin（x+

π

3

），

π

6

≤x≤

5π

12

．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）=

2 2

3

，求f（

x

2

+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用两角和与差的正弦公式展开，然后再逆用二倍角公式及两角差的正弦公式，化成正弦型函数的标准形，根据标准形式求函数f（x）的值域；
（2）根据f（x）=

2 2

3

，代入f（x）解析式，sin（2x-

π

3

）=

2 2

3

，f（

x

2

+

π

4

）=sin（x+

π

6

），通过换元法建立两式之间的联系．

解答： 解：（1）依题意，f（x）=2(

3

2

sinx-

1

2

cosx)(

1

2

sinx+

3

2

cosx)
=sinxcosx-

3

2

（cos²x-sin²x） …（3分）
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

），…（5分）
因为

π

6

≤x≤

5π

12

，所以0≤2x-

π

3

≤

π

2

，从而0≤sin(2x-

π

3

)≤1，
所以函数f（x）的值域为[0，1]；　…（7分）
（2）依题意，sin（2x-

π

3

）=

2 2

3

，

π

6

≤x≤

5π

12

，
令θ=2x-

π

3

，则x=

θ

2

+

π

6

，
从而sinθ=

2 2

3

，且0≤θ≤

π

2

，…（9分）
所以cosθ=

1-sin2θ

=

1

3

，
又cosθ=1-2sin²

θ

2

=2cos²

θ

2

-1，0≤

θ

2

≤

π

4

，
故sin

θ

2

=

3

3

，cos

θ

2

=

6

3

，…（11分）
从而f（

x

2

+

π

4

）=sin（x+

π

6

）=sin（

θ

2

+

π

3

）=

1

2

sin

θ

2

+

3

2

cos

θ

2

=

3 +3 2

6

．…（14分）

点评：本题考差了和差公式及倍角公式的应用，第（1）问解题的关键是化成正弦型函数的标准形式；第（2）问解题的关键是通过换元法建立条件和要求解的表达式之间的联系．