Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

n-1

2

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

=

2n-1

2(2n- 1 2 )

＜

1

2

，得到

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．由

an

an+1

=

1

2

-

1

2•2n+1-2

＞

1

2

-

1

2n+1

，得到

n-1

2

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

，由此能证明

n-1

2

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．

解答： （本小题满分12分）
（1）解：∵S_n=2a_n-n，…①
∴a₁=2a₁-1，解得a₁=1…．（1分）
且S_n-1=2a_n-1-（n-1）…②
①-②得a_n=2a_n-1+1…．（2分）
∴a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列…．（3分），
∴an=2n-1．…．（4分）
（2）证明：∵

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

=

2n-1

2(2n- 1 2 )

＜

1

2

…．（6分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．…．（8分）
∵

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

=

2n-1

2(2n- 1 2 )

=

1

2

(1-

1

2n+1-1

)=

1

2

-

1

2•2n+1-2

=

1

2

-

1

2n+1+2n+1-2

＞

1

2

-

1

2n+1

．…．（10分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

-(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

)=

n

2

-

1

2

(1-

1

2n

)＞

n-1

2

，
∴

n-1

2

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

…．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项法的合理运用．