Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）a=1时，函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过求导，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的单调区间；（2）将a=1代入函数表达式，通过求导得到函数的极值，解不等式组，求出即可．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）•（x+a）
令f'（x）＞0，
得x＞

a

3

或x＜-a
∴增区间为：(

a

3

，+∞)、(-∞，-a)；
（2）当a=1时，f'（x）=（3a-1）•（x+1）
当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表：

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↗		单调递减↘		单调递增↗

∴当x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=m+1，
∴当x=

1

3

时，f（x）取极小值f(

1

3

)=m-

5

27

，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴

m+1＞0 m- 5 27 ＜0

，
∴-1＜m＜

5

27

∴m∈(-1，

5

27

)．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数中参数的范围，属于中档题．