Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD丄CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，点M在线段EC上．
（Ⅰ）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE丄平面BEC；
（Ⅲ）若平面BDM与平面ABF所成二面角为锐角，且该二面角的余弦值为

6

6

时，求三棱锥M-BDE的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）证明ED⊥BC，BC⊥BD，可得BC⊥平面BDE，从而平面BDE丄平面BEC；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用二面角的余弦值为

6

6

，求出M的坐标，即可求三棱锥M-BDE的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，知ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，所以BC=2

2

．
在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4，可得BC⊥BD．
故BC⊥平面BDE．
又因为BC?平面BCE，所以，平面BDE丄平面BEC．
（Ⅲ）解：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2）．
设M（x，y，z），则

EM

=（x，y，z-2），
又

EC

=（0，4，-2），设

EM

=λ

EC

（0＜λ＜1），则X=0，Y=4λ，Z=2-2λ，即m（0，4λ，2-2λ）．
设

n

=（x，y，z）是平面BDM的法向量，则

2x+2y=0 4λy+(2-2λ)z=0

取x=1得平面BDM的一个法向量为

n

=（1，-1，

2λ

1-λ

）．
由题可知，

OA

=（2，0，0）是平面ABF的一个法向量．
因此，cos＜

OA

，

n

＞=

2

2 2+ 4λ2 (1-λ)2

=

6

6

，
所以λ=

1

2

，
即点M为EC中点．此时，S_△DEM=2，AD三棱锥B-DEM的高，
所以，V_M-BDE=V_B-DEM=

1

3

•2•2=

4

3

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，熟练掌握利用向量知识解决立体几何问题是解答本题的关键．