Question

已知向量

m

=（sin

1

2

x，1），

n

=（4

3

cos

1

2

x，2cosx），设函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x），x∈[-π，π]的单调递增区间．
（3）设函数h（x）=f（x）-k（k∈R）在区间[-π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,根的存在性及根的个数判断,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数f（x）的解析式．
（2）令 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，再结合x∈[-π，π]可得函数的增区间
（3）由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[-π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得结论．

解答： 解：（1）函数f（x）=

m

•

n

=4

3

sin

x

2

cos

x

2

+2cosx=2

3

sinx+2cosx=4sin（x+

π

6

）．
（2）令 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得  2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈z．
再结合x∈[-π，π]可得函数的增区间为[-

2π

3

，

π

3

]．
（3）∵函数h（x）=f（x）-k（k∈R）在区间[-π，π]上的零点的个数为n，
即函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[-π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得：
当k＞4，或 k＜-4时，n=0；
当k=4，或 k=-4时，n=1；
当-4＜k＜-2，或-2＜k＜4时，n=2；
当k=-2时，n=3．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，方程根的存在性及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．