Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+2ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-

3

8

时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 当a＞0时，函数g（x）=f（x）+3-2ax在区间[1，2]上存在实数x，使得g（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=-

3

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代入函数解析式，解不等式f′（x）＞0即可；
（Ⅱ）在区间[1，2]上存在实数x，使得g（x）＜0成立，等价于x∈[1，2]时，g（x）_min＜0，而g（x）=x³-3ax²+4，g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），令g′（x）=0可得x=0或x=2a，按照2a在区间的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可得g（x）_min；

解答： 解：（Ⅰ）当a=-

3

8

时，函数为f（x）=x³+

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8

x²-

3

4

x+1，
则由f′（x）=3x²+

9

4

x-

3

4

＞0，得x＜-1或x＞

1

4

，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（

1

4

，∞）．
（Ⅱ）g（x）=x³-3ax²+4，则g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令g′（x）=0，解得x=0或x=2a，
在区间[1，2]上存在实数x，使得g（x）＜0成立，等价于x∈[1，2]时，g（x）_min＜0，
（1）若0＜a≤

1

2

，在区间x∈[1，2]时，g′（x）≥0，即g（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴有g（x）_min=g（1）＜0，解得a＞

5

3

，不合题意；
（2）若

1

2

＜a＜1，在[1，2a]上函数g（x）单调递减，在[2a，2]上函数g（x）单调递增，
∴有g（x）_min=g（2a）＜0，解得a＞1，不合题意；
（3）若a≥1，当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，即g（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴有g（x）_min=g（2）＜0，解得a＞1，∴a＞1；
综上所述，a的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查“能成立”问题，考查分类讨论思想、转化思想，属中档题．