Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC，
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为

3 3

4

且b=

3

，求a+c的值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）=sinA，再对已知（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B
（2）结合三角形的面积公式S=

1

2

acsinB，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB可求a+c

解答： 解：（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，
将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，
在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，则B=

π

3

（2）∵△ABC的面积为

3 3

4

，sinB=sin

π

3

=

3

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

3

4

ac=

3 3

4

，∴ac=3，又b=

3

，cosB=cos

π

3

=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-9=3，
∴（a+c）²=12，则a+c=2

3

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要是考生具备综合应用公式的能力