Question

已知函数f（x）=lgkx，g（x）=lg（x+1）．
（Ⅰ）当k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=2g（x）仅有一个实根，求实数k的取值集合．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：本题（Ⅰ）利用k=1对f（x）+g（x）进行化简，然后根据复合函数的单调性规律，求出函数的单调区间；（Ⅱ）将方程f（x）=2g（x）等价转化为普通的一元二次不等式，然后对一元二次不等式的解进行研究，得到本题的答案．

解答： 解：（Ⅰ）当k=1时，y=f（x）+g（x）=lgx+lg（x+1）=lg[x（x+1）]（其中x＞0）
∵y=x（x+1）在（0，+∞）单调递增，且值域为（0，+∞），
∴y=f（x）+g（x）的单调递增区间为（0，+∞），不存在单调递减区间．
（Ⅱ）由f（x）=2g（x），即lgkx=2lg（x+1）．该方程可化为不等式组

kx＞0 x+1＞0 kx=(x+1)2

，
①若k＞0时，则x＞0，原问题即为：方程kx=（x+1）²在（0，+∞）上有且仅有一个根，
即x²+（2-k）x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个根，
由x₁•x₂=1＞0知：△=0．
解得k=4；
②若k＜0时，则-1＜x＜0，原问题即为：方程kx=（x+1）²在（-1，0）上有且仅有一个根，
即x²+（2-k）x+1=0在（-1，0）上有且仅有一个根，
记h（x）=x²+（2-k）x+1，
由f（0）=1＞0知：f（-1）＜0，
解得k＜0．
综上可得k＜0或k=4．
∴实数k的取值集合为{k|k＜0或k=4}．

点评：本题考查的是复合函数单调性、函数的定义域、一元二次函数的图象和性质，还考查了分类讨论的数学思想．本题有一定的综合性，对学生能力要求较高，属于中档题．