Question

已知复数z₁=a-4i，z₂=8+6i，

z1

z2

为纯虚数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求复数z₁的平方根．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求得

z1

z2

=

8a-24-(32+6a)i

100

为纯虚数，由此求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得复数z₁=3-4i，设z₁的平方根为a+bi，a、b∈R，则3-4i=a²-b²+2abi，利用两个复数相等的充要条件，求出a、b的值，可得z₁的平方根．

解答： 解：（Ⅰ）∵复数z₁=a-4i，z₂=8+6i，

z1

z2

=

a-4i

8+6i

=

(a-4i)(8-6i)

(8+6i)(8-6i)

=

8a-24-(32+6a)i

100

 为纯虚数，
∴8a-24=0，且 32+6a≠0，∴a=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得复数z₁=a-4i=3-4i，设z₁的平方根为a+bi，a、b∈R，
则3-4i=a²-b²+2abi，∴a²-b²=3，2ab=-4．
解得

a=2 b=-1

，或

a=-2 b=1

，
∴z₁的平方根为2-i，或-2+i．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求一个复数的平方根，两个复数相等的充要条件，属于及撤退．