Question

用长为18m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2：1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为（4.5-3x）m，易求x的范围，则长方体的容积为V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（0＜x＜

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），利用导数可求得函数的极大值，可判断即为最大值．

解答： 解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为（4.5-3x）m，
由

x＞0 4.5-3x＞0

，解得0＜x＜

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，
故长方体的容积为V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（0＜x＜

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），
从而V′（x）=18x-18x²=18x（1-x），
令V′（x）=0，解得x=1或x=0 （舍去），
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

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时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值，
从而最大体积为V（1）=9×1²-6×1³=3（m³），此时容器的高为4.5-3=1.5 m．
因此，容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3 m³．

点评：本题考查利用导数研究实际问题中函数的最值问题，根据已知条件正确表示出目标函数是解题关键，注意函数的定义域要考虑实际意义．