Question

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c且

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

．
（1）求A；
（2）求函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在△ABC中，由条件利用正弦定理可得 sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC，即b²+c²-a²=bc，求得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

的值，可得A的值．
（2）根据函数y=sin（2B-

π

6

）+1，0＜2B＜

2π

3

，利用正弦函数的定义域和值域求得y的值域．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，
∴由正弦定理可得

sinA-sinC

sinB-sinC

=

sinB

sinA+sinC

，化简可得 sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC，
∴b²+c²-a²=bc，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）求函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=-

1

2

cos2B+

3

2

sin2B+1=sin（2B-

π

6

）+1，
根据0＜2B＜

2π

3

 可得-

π

6

＜2B-

π

6

＜

π

2

，∴sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1），
∴y∈（

1

2

，

3

2

）．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理，三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．