Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f_K（x）=

f(x)，f(x)≤k k，f(x)＞k

，取函数f（x）=2-x-e^-x，若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），则K的最小值为

1

．

Answer 1

分析：利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值，和函数f_K（x）的定义即可得出．

解答：解：f′（x）=-1+e^-x=

1-ex

ex

，
当x＞0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此当x=0时，函数f（x）取得最大值f（0）=1．
∵对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x）≤1，
又对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），
∴故k的最小值为1．
故答案为1．

点评：本题考查了导数研究函数f（x）的单调性极值与最值和新定义，属于难题．