Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且

cosB

cosC

=

b

2a-c

．
（1）求角B的大小；
（2）△ABC的外接圆半径是

1

2

，求三角形周长的范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式右边利用正弦定理化简，整理后求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用正弦定理化简a+b+c，将B度数及表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出周长的范围．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：

cosB

cosC

=

b

2a-c

=

sinB

2sinA-sinC

，
整理得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
则B=

π

3

；
（2）∵△ABC外接圆半径R=

1

2

，
∴由正弦定理得：a+b+c=2RsinA+2RsinB+2RsinC=sinA+sinB+sinC=

3

2

+sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

2

+

3

sin（A+

π

6

），
∵

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
则三角形周长范围为（

3

，

3 3

2

]．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．