Question

16．已知f（x）=1+log_x3，g（x）=2log_x2，试比较f（x）与g（x）的大小关系．

Answer 1

分析 由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性，讨论即可．

解答 解：（1+log_x3）-2log_x2=log_x $\frac{3x}{4}$，
当 $\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{0＜\frac{3}{4}x＜1}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{\frac{3}{4}x＞1}\end{array}\right.$，
即0＜x＜1或x＞$\frac{4}{3}$时，
有log_x$\frac{3x}{4}$＞0，1+log_x3＞2log_x2，
即f（x）＞g（x）；
当 $\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{\frac{3}{4}x＞1}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{0＜\frac{3}{4}x＜1}\end{array}\right.$②时，
log_x$\frac{3x}{4}$＜0．
解①得无解，解②得1＜x＜$\frac{4}{3}$，
即当1＜x＜$\frac{4}{3}$时，有log_x$\frac{3x}{4}$＜0，
1+log_x3＜2log_x2，
即f（x）＜g（x），
当$\frac{3}{4}$x=1，即x=$\frac{4}{3}$时，有log_x$\frac{3x}{4}$=0．
∴1+log_x3=2log_x2，
即f（x）=g（x），
综上所述，当0＜x＜1或x＞$\frac{4}{3}$时，f（x）＞g（x）；
当1＜x＜$\frac{4}{3}$时，f（x）＜g（x）；
当x=$\frac{4}{3}$时，f（x）=g（x）．

点评 本题考查对数函数的性质，作差法，分类讨论的思想，是中档题．