Question

函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在R上的奇函数，且f（1）=

1

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x） 定义在R⁺上，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0，求得b的值，再由f（1）=

1

2

，可得a的值，从而求得f（x）的解析式．
（2）当x＞0时，根据f（x）=

x

1+x2

=

1

1 x +x

，利用基本不等式求得f（x）的最大值．

解答：解：（1）由于函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，故有b=0，f（x）=

ax

1+x2

．
再由f（1）=

1

2

，可得

a

1+1

=

1

2

，解得a=1，故有f（x）=

x

1+x2

．
（2）当x＞0时，f（x）=

x

1+x2

=

1

1 x +x

≤2，（当且仅当x=1时取等号），故f（x）的最大值为2．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、基本不等式的应用，属于中档题．