Question

【题目】已知中心在原点的椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直线的距离为．

求椭圆的标准方程；

若直线l：交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为点与点M不重合，且直线与x轴的交于点P，求的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由题意可知，椭圆是焦点在x轴上的椭圆，并求得b，再由点到直线的距离公式求得c，由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；

联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得M，N的纵坐标的和与积，再求出P的坐标，写出三角形面积公式，利用基本不等式求最值．

解：依题意可设椭圆方程为，．

设右焦点，

由题设条件：，解得，

．

故所求椭圆方程为：；

设，，

联立，得．

，，

由题设知，，直线的方程为．

令，得．

点P坐标为．

．

当且仅当，即时等号成立．

的面积的最大值为1．