Question

3．已知函数y=x²-4x+1
（1）求函数值y的取值范围．
（2）若0≤x≤6，求y的取值范围．
（3）若0≤x≤a，求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质，即可求出函数的值域，
（2）根据二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求出范围，
（3）需要分类讨论，根据a与对称轴的关系，结合二次函数的单调性即可求出．

解答 解：（1）y=x²-4x+1=（x-2）²-3，函数开口向上，有最小值-3，故函数的值域为[-3，+∞），
（2）由（1）可知，函数的对称轴为x=2，故最小值为-3，最大值为f（6）=36-24+1=13，故y的范围为[-3，13]，
（3）当0≤a≤2时，函数在（0，a）上单调递减，故最大值为f（0）=1，最小值为f（a）=a²-4a+1，故y的范围为[a²-4a+1，1]，
 当2＜a≤4时，函数在（0，2）上单调递减，在（2，a）单调递增，故最大值为f（0）=1，最小值为-3，故y的范围为[-3，1]，
当a＞4时，函数在（0，2）上单调递减，在（2，a）单调递增，故最大值为f（a）=a²-4a+1，最小值为-3，故y的范围为[-3，a²-4a+1]

点评 本题考查了函数的性质，考查函数值的范围，以及分类讨论的思想，属于中档题．