Question

3．数列{a_n}中，a_n+1•a_n=a_n+1-1，且a₂₀₁₁=2，则前2011项的和等于1007．

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式可得数列{a_n}是周期为3的周期数列，由此可得前2011项的和．

解答 解：∵a_n+1•a_n=a_n+1-1，
∴${a}_{n}=1-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∵a₂₀₁₁=2，∴${a}_{2010}=1-\frac{1}{{a}_{2011}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
${a}_{2009}=1-\frac{1}{{a}_{2010}}=1-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-1$，
${a}_{2008}=1-\frac{1}{{a}_{2009}}=1-（-1）=2$，
…
∴数列{a_n}是周期为3的周期数列，
∵2011=670×3+1，
∴S₂₀₁₁=$（\frac{1}{2}+2-1）×670+2=1007$．
故答案为：1007．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列的前n项和，寻找数列周期是关键，是中档题．