Question

15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若C=2B，求证：cosA=3cosB-4cos³B；
（Ⅱ）若bsinB-csinC=a，且△ABC的面积S=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，求角B．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，利用分析法即可证明．
（Ⅱ）利用余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式，结合二倍角公式，即可求出B．

解答 解：（Ⅰ）证明：
∵cosA=3cosB-4cos³B，
?cosA=cosB（3-4cos²B），
?cosA=cosB（3-4×$\frac{1+cos2B}{2}$），
?cosA=cosB-2cosBcos2B，
?cosA+2cosBcos2B=cosB，
∵C=2B，可得：A=π-B-C=π-3B，
∴原式?-cos3B+2cosBcosC=cosB，
?2cosBcosC-cosB=cos3B，
?2cosBcosC-cosB=cos（B+C）=cosBcoC-sinBsinC，
?cosBcosC-cosB=-sinBsinC，
?cosBcosC+sinBsinC=cosB，
?cos（C-B）=cosB，
?cos（2B-B）=cosB，显然成立，故得证cosA=3cosB-4cos³B．
（Ⅱ）在△ABC中，∵S=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bccosA，
∴tanA=1，
∴A=45°
∵bsinB-csinC=a，
∴sin²B-sin²C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos2C-cos2B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（270°-2B）-cos2B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-sin2B-cos2B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（2B+45°）=-1，
∴2B+45°=270°，
∴B=112.5°．
故B=112.5°．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式、二倍角公式，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于中档题．