Question

10．已知函数h（x）=1+ax²（a为实数），f（x）=$\frac{{e}^{x}}{h（x）}$（e=2.71828…为自然对数的底数）．
（1）当a=-4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，若存在实数m，使得函数F（x）=f（x）-m有三个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（2）由题意可得f（x）=m有3个不等实根，求得f（x）的导数，令t（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，求出导数，可得1+ax²-2ax=0有两个不等实根，由判别式大于0，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=-4时，函数h（x）=1-4x²，
f（x）=$\frac{{e}^{x}}{h（x）}$=$\frac{{e}^{x}}{1-4{x}^{2}}$的导数为f′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-4{x}^{2}+8x）}{（1-4{x}^{2}）^{2}}$，
由f′（x）＞0可得1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且x≠$\frac{1}{2}$；由f′（x）＜0可得x＜1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且x≠-$\frac{1}{2}$或x＞1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
可得f（x）的单调增区间为（1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）；减区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$.1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）∪（1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）；
（2）当a＞0时，若存在实数m，使得函数F（x）=f（x）-m有三个零点，
即有f（x）=m有3个不等实根，即$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$=m，
令t（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，t′（x）=$\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}-2ax）}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$．
可得1+ax²-2ax=0有两个不等实根，
即有△=4a²-4a＞0，
解得a＞1或a＜0，
由a＞0可得a＞1．
则实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，注意函数的定义域，考查函数方程的转化思想，构造函数法是解题的关键，属于中档题．