Question

5．记关于x的不等式$1-\frac{a}{x}＜0$的解集为P，不等式|x+2|＜3的解集为Q
（1）若a=3，求P；
（2）若P∪Q=Q，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=3代入不等式中，求出分式不等式的解集即为P；
（2）将已知P∪Q=Q转换为P⊆Q，求出绝对值不等式的解集即为Q，根据已知条件a为正数求出P的解集，根据集合关系即可求出a的取值范围；注意最后结果a＞0的范围不能落下．

解答 解：由题意得：
（1）∵a=3
∴1-$\frac{3}{x}$＜0
∴$\frac{x-3}{x}＜0$
∴0＜x＜3
∴P={x|0＜x＜3}
（2）∵|x+2|＜3
∴-3＜x+2＜3
∴-5＜x＜1
∴Q={x|-5＜x＜1}
又∵$1-\frac{a}{x}＜0$
∴$\frac{x-a}{x}＜0$
∵正数a
∴0＜x＜a
即P={x|0＜x＜a}
又∵P∪Q=Q
∴P⊆Q
∴0＜a≤1

点评 本题主要考察学生对含参分式不等式，含绝对值不等式的解法的掌握情况；以及集合关系的考察；需要学生注意细节的把握．