Question

20．已知函数f（x）=e^x（x²+x+a）在（0，f（0））处的切线与直线2x-y-3=0平行，其中a∈R．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（0）=2，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x²+3x+a+1），
故f′（0）=a+1，而切线的斜率是2，
故a+1=2，解得：a=1；
（2）由（1）得f（x）=e^x（x²+x+1），
f′（x）=e^x（x+1）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞-1或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜-1，
故函数f（x）在[-2，-1）递减，在（-1，2]递增，
而f（-2）=$\frac{3}{{e}^{3}}$，f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（2）=7e²，
故f（x）在[-2，2]的最小值是$\frac{1}{e}$，最大值是7e²．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线的意义，是一道中档题．