Question

10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c且$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin2A=2{sin^2}\frac{B+C}{2}$．
（I）求A；
（II）若△ABC的外接圆半径为$2\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinAcosA=cosA，结合cosA≠0，可得sinA，结合范围0$＜A＜\frac{π}{2}$，可求A的值．
（II）由（I）及正弦定理可求a，由余弦定理，基本不等式可求bc≤36，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）∵$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin2A=2{sin^2}\frac{B+C}{2}$，
∴$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin2A$=1-cos（B+C），…1分
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinAcosA=cosA，…2分
∵在锐角△ABC中，cosA≠0，…3分
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA=1，可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…4分
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴可得：A=$\frac{π}{3}$…6分
（II）由（I）知sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且R=2$\sqrt{3}$，由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=2R$，
可得：a=2RsinA=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，…8分
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，可得：36=b²+c²-2bc×$\frac{1}{2}$≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时等号成立…10分
∴bc≤36，…11分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×36×\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$，即三角形面积的最大值是9$\sqrt{3}$．…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．