Question

1．对任意实数t，不等式|t-3|+|2t+1|≥|2x-1|+|x+2|恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 利用分段函数的单调性求得函数f（t）取得最小值为$\frac{7}{2}$，不等式等价于等价于|2x-1|+|x+2|≤$\frac{7}{2}$，去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：由于f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-3t+2，t＜-\frac{1}{2}}\\{t+4，-\frac{1}{2}≤t≤3}\\{3t-2，t＞3}\end{array}\right.$，故当t=-$\frac{1}{2}$时，函数f（t）取得最小值为$\frac{7}{2}$．
∴不等式|t-3|+|2t+1|≥|2x-1|+|x+2|恒成立，等价于|2x-1|+|x+2|≤$\frac{7}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{1-2x-x-2≤\frac{7}{2}}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{-（2x-1）+x+2≤\frac{7}{2}}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1+x+2≤\frac{7}{2}}\end{array}\right.$③．
解①x∈∅求得，解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$＜x≤$\frac{5}{6}$，
综合可得，不等式的解集为{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{6}$}．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的恒成立问题，求函数的最值，绝对值不等式的解法，属于中档题．