Question

16．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆$C：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A是椭圆的左顶点，M，N是椭圆上的两个动点，直线AM交y轴于点P．
（1）若$\overrightarrow{AP}=\frac{7}{8}\overrightarrow{AM}$，求直线AM的斜率；
（2）若a-b=1，圆C₁：x²+（y-1）²=r²（0＜r＜1），直线AM和直线AN都与圆C₁相切，当r变化时，试问直线MN是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得a=2b，椭圆C的方程可设为：y²+4x²=4b²．
设直线AM的方程为：y=k（x+b），代入椭圆方程得（k²+4）x²+2k²bx+（k²-4）b²=0．
$\overrightarrow{AP}=\frac{7}{8}\overrightarrow{AM}$，$0-{x}_{A}=\frac{7}{8}（{x}_{M}-{x}_{A}）$，b=$\frac{7}{8}[-\frac{（{k}^{2}-4）b}{{k}^{2}+4}+b）$，解得k
（2）由（1）知a=2b，又a-b=1，∴a=2，b=1
椭圆C的方程可为：y²+4x²=4．
设切线方程为y=t（x+1），由圆心到其距离为r得（1-r²）t²-2t+1-r²=0．
设AM\AN的斜率分别为t₁，t₂，则t₁t₂=1
求出M、N坐标，得直线MN的斜率为k_MN=-$\frac{3{t}_{1}}{1+{{t}_{1}}^{2}}$，
直线MN的方程：y-$\frac{8{t}_{1}}{{{t}_{1}}^{2}+4}$=-$\frac{3{t}_{1}}{1+{{t}_{1}}^{2}}$（x-$\frac{4-{{t}_{1}}^{2}}{{{t}_{1}}^{2}+4}$），令y=0，$x=\frac{8{t}_{1}}{{{t}_{1}}^{2}+4}×\frac{1+{{t}_{1}}^{2}}{3{t}_{1}}+\frac{4-{{t}_{1}}^{2}}{{{t}_{1}}^{2}+4}=\frac{5}{3}$．直线MN过定点．

解答 解：（1）因为椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$又，∵a²=b²+c²，所以a=2b．
椭圆C的方程可设为：y²+4x²=4b²．
设直线AM的方程为：y=k（x+b），代入椭圆方程得（k²+4）x²+2k²bx+（k²-4）b²=0．
∴${x}_{A}{x}_{M}=\frac{（{k}^{2}-4）{b}^{2}}{{k}^{2}+4}$，⇒x_M=$\frac{（{k}^{2}-4）b}{{k}^{2}+4}$．
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{7}{8}\overrightarrow{AM}$，∴$0-{x}_{A}=\frac{7}{8}（{x}_{M}-{x}_{A}）$，b=$\frac{7}{8}[-\frac{（{k}^{2}-4）b}{{k}^{2}+4}+b）$，解得k²=3．
即直线AM的斜率为$±\sqrt{3}$．
（2）直线MN过定点（$\frac{5}{3}$，0）理由如下：
由（1）知a=2b，又a-b=1，∴a=2，b=1
∴椭圆C的方程可为：y²+4x²=4．
设切线方程为y=t（x+1），由圆心到其距离为r，得（1-r²）t²-2t+1-r²=0．
设AM\AN的斜率分别为t₁，t₂，则t₁t₂=1
由$\left\{\begin{array}{l}{y=t（x+1）}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$可得M（$\frac{4-{{t}_{1}}^{2}}{{{t}_{1}}^{2}+4}$，$\frac{8{t}_{1}}{{{t}_{1}}^{2}+4}$）
用$\frac{1}{{t}_{1}}$换t₁，得N（$\frac{4{{t}_{1}}^{2}-1}{1+4{{t}_{1}}^{2}}$，$\frac{8{t}_{1}}{1+4{{t}_{1}}^{2}}$），∴直线MN的斜率为k_MN=-$\frac{3{t}_{1}}{1+{{t}_{1}}^{2}}$，
直线MN的方程：y-$\frac{8{t}_{1}}{{{t}_{1}}^{2}+4}$=-$\frac{3{t}_{1}}{1+{{t}_{1}}^{2}}$（x-$\frac{4-{{t}_{1}}^{2}}{{{t}_{1}}^{2}+4}$）
令y=0，$x=\frac{8{t}_{1}}{{{t}_{1}}^{2}+4}×\frac{1+{{t}_{1}}^{2}}{3{t}_{1}}+\frac{4-{{t}_{1}}^{2}}{{{t}_{1}}^{2}+4}=\frac{5}{3}$．
直线MN过定点（$\frac{5}{3}$，0）．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，及直线过定点问题，属于压轴题．