Question

11．如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，AB=2，AD=1，E为BC的中点，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$的值为-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，由平面向量数量积的坐标表示即可得到所求值．

解答 解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，
建立平面直角坐标系如图所示，

∵AB=2，AD=1，E为BC中点，
∴A（0，0），B（2，0），D（0，1），
设C（x，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{AC}$=（x，1），
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，
∴2x=2，
解得x=1，
∴C（1，1），
∵E为BC中点，
∴E（$\frac{1+2}{2}$，$\frac{0+1}{2}$），即为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-2，1），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{2}$×（-2）+$\frac{1}{2}$×1=-$\frac{5}{2}$．
故答案为：-$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查向量的坐标运算，主要考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．