Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n+3=a_n²+2a_n．
（Ⅰ）当n≥7时，a＞0恒成立，求证：数列{a_n}从第7项起，成等差数列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{a_n}的前7项为等比数列，求数列{a_n}的前7项和S₇．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用4S_n=a_n²+2a_n-3，再写一式，两式相减，利用当n≥7时，a_n＞0，即可得出{a_n}成等差数列；
（Ⅱ）确定首项，公比，即可求{a_n}的前7项和S₇．

解答 （Ⅰ）证明：由4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，
两式相减整理得，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0…（4分）
当n≥7时，a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∴当n≥7时，{a_n}成等差数列．      
（Ⅱ）解：由4S₁=a₁²+2a₁-3，得a₁=3或a₁=-1
又a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₇成等比数列，
∴a_n+1+a_n=0（n≤6），q=-1，
而a₇＞0，∴a₁＞0，从而a₁=3．
∴S₇=3-3+3-3+3-3+3=3．…．（14分）

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．