Question

10．已知实数a，b满足a+b=1．
（Ⅰ）求证：${a^3}+{b^3}\;≥\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）若至少存在一个实数x，使得|x-a|+|x-b|≤5成立，求实数2a+3b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用立方和公式、结合配方法，即可证明；
（Ⅱ）若至少存在一个实数x，使得|x-a|+|x-b|≤5成立，则|a-b|≤5，由此求实数2a+3b的取值范围．

解答 （Ⅰ）证明：a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）=a²-a（1-a）+（1-a）²=$3（a-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）解：|x-a|+|x-b|≥|x-a-x+b|=|a-b|，至少存在一个实数x，使得|x-a|+|x-b|≤5成立，则|a-b|≤5，
∵a+b=1，∴b=1-a，
∴|a-（1-a）|≤5，
∴-2≤a≤3，
∴2a+3b=3-a∈[0，5]．

点评 本题考查不等式的证明，考查绝对值不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．