Question

1．已知点G是△ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且$\frac{a}{5}\overrightarrow{GA}+\frac{b}{7}\overrightarrow{GB}+\frac{c}{8}\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0$，则角B的大小是$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 点G是△ABC的重心，可得：$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0$，由题意$\frac{a}{5}\overrightarrow{GA}+\frac{b}{7}\overrightarrow{GB}+\frac{c}{8}\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0$，可得a=5，b=7，c=8，根据余弦定理可得角B的大小．

解答 解：由题意：点G是△ABC的重心，可得：$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0$，
∵$\frac{a}{5}\overrightarrow{GA}+\frac{b}{7}\overrightarrow{GB}+\frac{c}{8}\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0$，
∴可得a=5，b=7，c=8，
由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
故答案为$\frac{π}{3}$

点评 本题考查重心的性质，是基础题，解题时要认真审题．