Question

9．设当x=θ时，函数y=3sinx-cosx取得最大值，则sinθ=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：f（x）=$\sqrt{10}$sin（x-α），并求出cosα和sinα，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出θ的表达式，由诱导公式求出sinθ的值．

解答 解：∵函数f（x）=3sinx-cosx
=$\sqrt{10}$（$\frac{3}{\sqrt{10}}$sinx-$\frac{1}{\sqrt{10}}$cosx）
=$\sqrt{10}$sin（x-α）（其中cosα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，sinα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$ ）
又∵x=θ，且f（x）取得最大值，
∴θ-α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$+α，k∈z，
∴sinθ=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$+α）=sin（$\frac{π}{2}$+α）
=cosα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故选：D．

点评 本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力．