Question

16．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠bac=90°，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，$AD=\sqrt{5}$．
（1）求$\frac{sin∠CAD}{sin∠D}$的值；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知可求$AC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}BC$，$AC=\sqrt{2}CD$，在△ADC中，由正弦定理即可计算得解．
（2）设CD=x，则$AC=\sqrt{2}x$，在△ADC中由余弦定理即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为△ABC为等腰直角三角形，
所以$AC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}BC$，
又BC=2CD，
所以$AC=\sqrt{2}CD$，…（3分）
在△ADC中，由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AC}{sin∠D}$，即$\frac{sin∠CAD}{sin∠D}=\frac{CD}{AC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（6分）
（2）设CD=x，则$AC=\sqrt{2}x$，
在△ADC中：AD²=CD²+AC²-2AC•CDcos∠ACD，即$5={x^2}+2{x^2}+2\sqrt{2}{x^2}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得：x=1，即CD=1…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．