Question

11．过函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（　　）

• A． $[0，\frac{3π}{4}]$
• B． $[0，\frac{π}{2}）∪[\frac{3π}{4}，π）$
• C． $[\frac{3π}{4}，π）$
• D． $（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$

Answer 1

分析 求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．

解答 解：由函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$，得f′（x）=x²-2x，
设函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$图象上任一点P（x₀，y₀），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），
则f′（x）=x²-2x=（x-1）²-1≥-1，
∴tanα≥-1，
∴0≤α＜$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{4}$≤α＜π．
∴过函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，$\frac{π}{2}$）∪[$\frac{3π}{4}$，π）．
故选B．

点评 本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性，是中档题．