Question

19．甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为$\frac{2}{3}$，乙每次射击命中的概率为$\frac{2}{5}$，且每次射击互不影响，约定由甲先射击． 
（Ⅰ）求甲获胜的概率；
（Ⅱ）求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （I）记甲第i次射击中获胜的概率为A_i（i=1，2，3），则A₁，A₂，A₃彼此互斥，甲获胜的概率为A₁+A₂+A₃．P（A₁）=$\frac{2}{3}$，利用相互独立事件的概率计算公式可得P（A₂），P（A₃）．可得P（A₁+A₂+A₃）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）．
（II）X所有可能取值为1，2，3．利用互相独立与互斥事件的概率计算公式可得P（X=k）．

解答 解：（I）记甲第i次射击中获胜的概率为A_i（i=1，2，3），
则A₁，A₂，A₃彼此互斥，甲获胜的概率为A₁+A₂+A₃．
P（A₁）=$\frac{2}{3}$，P（A₂）=$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{15}$，P（A₃）=$（\frac{1}{3}）^{2}×（\frac{3}{5}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{75}$．
∴P（A₁+A₂+A₃）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{15}$+$\frac{2}{75}$=$\frac{62}{75}$．
（II）X所有可能取值为1，2，3．P（X=1）=$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{5}$，P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{25}$．
P（X=3）=$（\frac{1}{3}）^{2}×（\frac{3}{5}）^{2}×1$=$\frac{1}{25}$．X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{4}{5}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{1}{25}$

∴E（X）1×$\frac{4}{5}$+2×$\frac{4}{25}$+3×$\frac{1}{25}$=$\frac{31}{25}$．

点评 本题考查了互相独立与互斥事件的概率计算公式、分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．