Question

8．在直角坐标系xOy中，曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），曲线${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ+2\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数，θ∈[0，2π]）．
（Ⅰ）以O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁与曲线C₂相交于点A、B，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数后得到其普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）法一：利用弦长公式直接求解，利用参数的几何意义求解．法二、运用直线的参数方程求解．

解答 解（Ⅰ）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ+2}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$消去参数后得到其普通方程为x²-4x+y²=0，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得ρ=4cosθ．
∴曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（Ⅱ）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2-2t}\end{array}}\right.$消去参数后得到其普通方程为x+y-3=0，
由曲线C₂可知：以（2，0）为圆心，以2为半径的圆．
那么：圆心到直线C₁的距离为$\frac{{|{1×2+1×0-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴弦长$|{AB}|=2\sqrt{{2^2}-{{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^2}}=2×\frac{{\sqrt{14}}}{2}=\sqrt{14}$．
解法2：把${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2-2t}\end{array}}\right.$代入x²-4x+y²=0得8t²-12t+1=0，
则有：${t_1}+{t_2}=\frac{3}{2}$，${t_1}{t_2}=\frac{1}{8}$，
则${|{{t_1}-t}|_2}=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（{\frac{3}{2}}）}^2}-4×\frac{1}{8}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
根据直线方程的参数几何意义知$|{AB}|=2\sqrt{2}{|{{t_1}-t}|_2}=\sqrt{14}$．

点评 本题考查了直角坐标方程与极坐标、参数方程之间的转换，考查了参数方程的几何意义．属于中档题．